à transmettre le mouvement circulaire du premier centre au second.

Or, il peut se présenter trois cas distincts: 1°. Les extrémités A et A' de la bielle tournent d'une manière continue autour des centres c et c'; 2°. le mouvement continu n'est possible que pour l'une des extrémités, l'autre n'étant susceptible que d'un mouvement alternatif; 3°. les deux points a et a' ne peuvent qu'osciller autour de leurs centres respectifs.

Nous nous proposons de rechercher les conditions géométriques qui répondent à ces différents cas. Nous nous proposons également d'obtenir, pour une direction quelconque de la bielle, l'expression analytique du rapport des vitesses angulaires des deux rayons. Nous étudierons ensuite plus particulièrement, à l'aide de la géométrie et de l'analyse, les propriétés qui caractérisent les valeurs maxima ou minima de ce rapport. Nous terminerons, enfin, en donnant une méthode de calcul applicable au cas où les deux rotations sont continues, et en discutant les résultats qu'elle fournit.

Rappelons d'abord certaines propriétés connues de la bielle, et dans l'énoncé desquelles nous supposerons les rayons, la bielle et la ligne des centres prolongés au besoin.

1°. Le centre instantané de rotation de la bielle est au point de concours des rayons; et il se projette sur la bielle au point où celle-ci rencontre sa position infiniment voisine.

2o. Le rapport des vitesses angulaires des deux rayons est inverse du rapport des distances des deux centres

de rotation à la bielle, ou inverse du rapport des distances des deux centres de rotation au point de concours de la bielle avec la ligne des centres.

3o. Les rotations sont de même sens quand la bielle laisse les deux centres d'un même côté; elles sont de sens contraires quand la bielle passe entre les deux centres.

I.

DES CIRCONSTANCES PRINCIPALES QUE PRÉSENTE LE
MOUVEMENT D'UNE BIELLE.

On posera, pour abréger,

CA a, c'A' a', cc'=d, AA'=l;

et l'on supposera que a' est le plus petit des deux rayons, s'ils ne sont pas égaux entr'eux.

1. Des conditions nécessaires pour que les deux extrémités de la bielle se meuvent d'une manière continue.

Écartant le cas, bien connu, où a est égal à a', et légal à d, nous supposerons d'abord, fig. (2), le

Fig 2

E

F

G

C

centre c' extérieur à la circonférence de centre c et

de rayon a, et nous remarquerons que le mouvement continu de a est impossible. En effet, D et E étant les points de circ. a situés sur cc', et F et G les points de circ. a' situés sur la même droite, il faut, pour que le point A passe en D, que la longueur de la bielle soit égale ou inférieure à DF; et, pour que le point a passe en E, que la longueur de la bielle soit égale ou supérieure à EG. Or, ces deux conditions sont incompatibles, puisqu'elles reviennent à

Id+a'—a, ld+a—a',

et que l'on suppose a' moindre que a.

Considérons donc le cas, fig. (3), où c' est intérieur à circ.a. Il faut, pour que A passe en D, que l'on ait l<a-a'-d; et, pour que A passe en E, que l'on ait la+d- a'. Ces inégalités, dans lesquelles nous

renfermons implicitement les égalités qui leur correspondent, ne sont compatibles que dans le cas de d<a', c'est-à-dire lorsque le centre c est intérieur à circ.a'.

Or, on peut démontrer que la rotation continue de

chacune des extrémités de la bielle est possible toutes les fois que le centre de la grande circonférence est intérieur à la petite, et que la longueur de la bielle satisfait aux conditions a+d—a'<l<a+a'-d.

Supposons, en effet, circ. a' intérieure à circ. a, fig. (4), et considérons un point м quelconque de circ.a. La

plus courte distance de м à circ. a' est inférieure à GE ou à a+d-a'; la plus grande distance de м à circ. a' est supérieure à DG ou à a+a'-d. Si donc on a a+d-a'<l< a+a'-d, l'une des extrémités de la bielle peut venir en M. On verra semblablement que, dans les mêmes conditions de longueur de la bielle, le point a' peut venir occuper une position quelconque M' sur circ. a', parce que la plus courte distance de M'à circ.a est inférieure à GE, et la plus grande distance supérieure à DG. Ainsi, les points a et A' peuvent occuper toutes les positions sur chacune des circonférences, et par suite tourner d'une manière continue autour des points c et c'.

On voit de plus que, dans aucune de ses positions,

la bielle ne coïncide avec la plus courte ou avec la plus grande distance d'un point de l'une des circonférences à l'autre; en sorte que la bielle, dans aucune de ses positions, ne passe par l'un ou l'autre des centres. Si l'on remarque ensuite qu'elle peut occuper une position parallèle à cc', on en conclura qu'elle laisse toujours les deux centres d'un même côté et que, par conséquent, les deux points a et A' tournent toujours à la fois dans le même sens autour de cet de c'.

L'examen du cas où circ.a' coupe circ.a, fig. (5),

conduit aux mêmes conséquences; et nous ne nous y arrêterons pas.

On voit ainsi que, le centre de la grande circonférence étant situé dans l'intérieur de la petite, la bielle pourra servir à transformer un mouvement circulaire continu en un autre mouvement circulaire continu, toutes les fois que l'on aura

a+d-a'<l<a+a'—d.