On voit ainsi que l'on a, en représentant dans les deux cas par i, la valeur numérique de i,

2ld

K2

pour i=—i,, ·1+ valeur maximum.

Les formules (4) donnent ensuite les valeurs correspondantes de « et de «'.

3. Supposons d assez petit devant pour que les formules (10) et (11) puissent être regardées comme sensiblement exactes; et proposons-nous de limiter les au-dessus et au-dessous de

écarts de la valeur de

3

اها

l'unité. Il faut, pour cela, chercher le minimum de

l'expression

212

K'

2ld

✔2a'a'+2a'l'+2a'l' —a—a14_14

dans ce cas, la formule (10) se réduit à

cos. i=0;

ce qui prouve que la valeur exacte de cos.i est de l'ordre de e2.

Il importe toutefois de s'assurer que la valeur Va-a, adoptée pour , est comprise entre les limites dans lesquelles est possible la transmission d'un mouvement continu; c'est-à-dire qu'il importe de vérifier si l'on a

(a-al)+d<√a—a11<(a+a')—d.

Or, c'est ce qui arrivera nécessairement, si l'on suppose d assez petit devant a' et a—a'. Ce n'est donc qu'avec cette restriction que les derniers résultats auxquels nous arrivons sont admissibles.

NOTE

SUR

CERTAINES FORMULES TRIGONOMETRIQUES

(1)

OBTENUES

AU MOYEN DES INTÉGRALES DÉFINIES:

Par M. Ch. GIRAULT,

Membre titulaire, Professeur à la Faculté des Sciences.

On connaît la formule

∞

dans laquelle on suppose a compris de 0 à 1.

Si l'on substitue ces résultats dans la formule (2),

On en conclut, en vertu de la relation (1), la for

Cette formule, démontrée pour a compris de 0 à 1, est évidemment générale; car, si l'on y fait

a=1+a',

i étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif, on retombe sur la formule elle-même.

Reprenant le cas de a compris de 0 à 1, et désignant par a une quantité positive moindre que a et très-petite, on multiplie par da les deux membres de la relation (3), et l'on intègre depuis a jusqu'à a. On obtient ainsi

ce qui peut s'écrire, en passant des logarithmes aux

Si, dans cette relation, on fait converger a vers zéro, il vient, à la limite, la formule

d'où l'on déduit, comme cas particulier, la formule de

1

Wallis, dans l'hypothèse de a = 47